加群の圏の分類

RYO TAKAHASHI (高橋亮)

R を可換 Noether 環とする。 Mod R で R 加群の圏を表し， mod R で有限生成 R 加群全体のなす Mod R の充満部分圏を表す。有限生成射影 R 加群の有限鎖複体を完全鎖複体という。 D(R) を Mod R の導来圏とし， D_{perf}(R) を完全鎖複体と同型な鎖複体全体のなす D(R) の充満部分圏とする。三角圏の三角充満部分圏で，直和因子で閉じているものをépaisse 部分圏という。 Spec R の部分集合 S について，「𝔭 ∈ S かつ 𝔭 ⊆ 𝔮 ∈ Spec R ならば 𝔮 ∈ S」が成り立つとき， S は特殊化で閉じているという。鎖複体 X に対し， H(X) で X のホモロジー加群を表す（すなわち H(X) = ⨁_{i∈ℤ} H_{i}(X)）。 R 加群 M に対し， Supp M = { 𝔭 ∈ Spec R | M_{𝔭} ≠ 0 } とおく。 1990 年前後に， Hopkins [?] と Neeman [?] が次の分類定理を証明した。

定理 1 (Hopkins-Neeman). 次の一対一対応がある。

\{ \begin{matrix}D_{perf}(R) の \\ épaisse 部分圏 \end{matrix}\} \begin{matrix}f_{1} \\ ⟶ \\ ⟵ \\ g_{1} \end{matrix} \{ \begin{matrix}特殊化で閉じた \\ Spec R の部分集合 \end{matrix}\}

f_{1} と g_{1} はそれぞれ f_{1}(X) = ⋃_{X∈X} Supp H(X) と g_{1}(S) = { X ∈ D_{perf}(R) | Supp H(X) ⊆ S } で与えられる。

mod R の充満部分圏で部分加群，商加群，拡大で閉じているものを Serre 部分圏という。すなわち Serre 部分圏とは，有限生成 R 加群の任意の完全列 0 → A → B → C → 0 に対して「B ∈ M ⇔ A, C ∈ M」となる mod R の充満部分圏 M のことである。 mod R の充満部分圏で核，余核，拡大で閉じているものを連接部分圏という。言い換えると，連接部分圏とは，有限生成 R 加群の任意の完全列 A → B → C → D → E に対して「A, B, D, E ∈ M ⇒ C ∈ M」となる mod R の充満部分圏 M のことである。定義からすぐわかるように， Serre 部分圏は常に連接部分圏である。 Serre 部分圏については次の分類がある。

命題 2. 次の一対一対応がある。

\{ \begin{matrix}mod R の \\ Serre 部分圏 \end{matrix}\} \begin{matrix}f_{2} \\ ⟶ \\ ⟵ \\ g_{2} \end{matrix} \{ \begin{matrix}特殊化で閉じた \\ Spec R の部分集合 \end{matrix}\}

f_{2} と g_{2} はそれぞれ f_{2}(M) = ⋃_{M∈M} Supp M と g_{2}(S) = { M ∈ mod R | Supp M ⊆ S } で与えられる。

この命題から次の系が得られる。

系 3. M, N を有限生成 R 加群とする。もし Supp M ⊆ Supp N ならば， M は N で生成された（i.e. N を含む最小の） mod R の Serre 部分圏に入る。

Hovey [?] は， Hopkins-Neeman の定理と上の命題を用いて次の定理を証明した。

定理 4 (Hovey). R を Noether 正則環の準同型像とする。このとき，