MORITA DUALITY AND RING EXTENSIONS ^{∗}

Kazutoshi Koike

Abstract. Let A be a ring with Morita duality induced by a bimodule_{B}Q_{A} and let R be a ring extension of A. Müller proved the fundamental result that if R_{A} and Hom_{A}(R, Q)_{A} are linearly compact, then R has a Morita duality induced by _{S}Hom_{A}(R, Q)_{R}, where S = End_{R}(Hom_{A}(R, Q)). We improve this result by showing the existence of a category equivalence between certain categories of A-rings and B-rings whenever A and B are two Morita dual rings. We also generalize and unify a result of Fuller-Haack about Morita duality of semigroup rings and a result of Mano about self-duality of finite centralizing extensions.

1 研究の背景

環の Morita duality や self-duality が様々な拡大環にどのように遺伝するかについては、多くの研究者によって調べられてきた．基礎となるのは次の Müller の結果である．

定理 A ([1, Proposition 7.3] 参照). A を両側加群_{B}Q_{A} によって定められる Morita duality をもつ環， R を A の拡大環とする． R_{A} と Hom_{A}(R, Q)_{A} が linearly compact であれば， R は両側加群_{S}Hom_{A}(R, Q)_{R} によって定められる Morita duality をもつ．ただし S = End_{R}(Hom_{A}(R, Q)) である．

この定理の特別な場合として， Fuller-Haack は次の定理を示した．

定理 B ([1, Corollary 9.4] 参照). G を有限半群とする．環 A が環 B に右 Morita dual であれば，半群環 AG は半群環 BG に右 Morita dual である．特に環 A が self-duality をもてば，半群環 AG も self-duality をもつ．

この半群環の self-duality を一般化する形で，真野は次の定理を証明した．

定理 C ([1, Theorem 9.2] 参照). 環 A は両側加群_{A}Q_{A} によって定められる self-duality をもつとする． A の拡大環 R が条件

(1) R は r_{1}, …, r_{n} を基底とする自由右 A 加群である． (2) 各 r_{i} は A のすべての元と可換である．

∗The detailed version of this note will be submitted for publication elsewhere.

(3) r_{i}r_{j} = ∑_{k=1}^{n} r_{k}a_{ijk} (a_{ijk} ∈ A) と表すとき，各 a_{ijk} は Q のすべての元と可換である．

を満たすならば， R も self-duality をもつ．

今回の研究において， 2 つの環 A と B が Morita dual のとき，ある種の A-環の圏と B-環の圏の間に圏同値が存在することを示すことによって，定理 A を改良した (定理 2)．またその応用として，自由であるような有限中心的拡大 (定理 C の条件 (1)， (2) を満たす拡大環) の Morita duality を決定し，定理 B と定理 C を統合・一般化することができた (定理 4)．

以下この報告集では，すべての環は単位元をもち, すべての加群は単位的であるとする.

2 Morita duality の定義と両側加群の圏

A と B を環とする． Mod-A， B-Mod によって，それぞれ右 A 加群全体，左 B 加群全体の圏を表す． Morita duality とは，次の条件を満たす Mod-A の充満部分圏 A と B-Mod の充満部分圏 B の間の duality (すなわち反変同値) F : A ⇄ B : G である:

(1) A_{A} ∈ A, _{B}B ∈ B．

(2) A と B は部分加群と剰余加群で閉じている．

実際には， F, G は適当な両側加群_{B}Q_{A} を用いて F ≅ Hom_{A}(−, Q), G ≅ Hom_{B}(−, Q) として表現可能である．ここで，_{B}Q_{A} は忠実平衡的両側加群で， Q_{A} と_{B}Q は移入的余生成加群となる．逆に，このような両側加群_{B}Q_{A} に対して，双対圏手 Hom_{A}(−, Q)， Hom_{B}(−, Q) は Q-反射的な加群 (定義は後述) からなる充満部分圏の間の Morita duality となるため，両側加群_{B}Q_{A} は Morita duality を定義するという．このように， Morita duality は片側加群の圏に対して定義されるが，今回の研究ではある種の両側加群の圏に注目した．

以下，この論文を通して，両側加群_{B}Q_{A} は Morita duality を定めるとし，双対圏手を (−)^{∗} = Hom_{A}(−, Q)， (−)^{#} = Hom_{B}(−, Q) とおく．右 A 加群 X (左 B 加群 Y) は，標準的な評価写像 X → X^{∗#} (Y → Y^{#∗}) が同型写像であるとき， Q-反射的 (Q-reflexive)

であるという．両側加群の圏を次のように定める．

M_{A−A} = {_{A}L_{A} | L_{A}, L^{∗}_{A}は Q-反射的},
BM_{A} = {_{B}M_{A} | M_{A},_{B}Mは Q-反射的},
B−BM = {_{B}N_{B} | _{B}N,_{B}N^{#}は Q-反射的}.

ただし射は両側準同型写像である．よく知られているように，_{B}Q_{A} が Morita duality を定めるとき，右 A 加群 X (左 B 加群 Y) が Q-反射的であることと linearly compact であることは同値である．したがって，定理 A の拡大環 R に対する仮定は_{A}R_{A} ∈ M_{A−A} であることを意味する． Morita duality を制限することによって，これらの両側加群の圏について，次の補題が成り立つ．

補題 1. (1) _{A}A_{A} ∈ M_{A−A}, _{B}Q_{A} ∈ _{B}M_{A}, _{B}B_{B} ∈ _{B−B}M．

(2) M_{A−A}, _{B}M_{A}, _{B−B}M は，部分両側加群，剰余両側加群，両側加群の拡大で閉じている．

(3) 双対圏手の対 (−)^{∗} : M_{A−A} ⇄ _{B}M_{A} : (−)^{#} と (−)^{∗} : _{B}M_{A} ⇄ _{B−B}M : (−)^{#} は duality である．したがって，これらの合成 (−)^{∗∗} : M_{A−A} ⇄ _{B−B}M : (−)^{##} は圏同値である．

3 環の圏とその同値

環 R と環準同型写像 A →^{f} R の対 (R, f) を A-環 (A-ring) という． A の拡大環や剰余環は A-環である． 2 つの A-環 (R, f) と (R′, f′) の間の射 ϕ : (R, f) → (R′, f′) を ϕ ∘ f = f′ を満たす環準同型写像 ϕ : R → R′ として定める．以後 A-環 (R, f) を単に R で表す． A-環 R は (A, A) 両側加群と見なすことができ， A-環の射 R → R′ は (A, A) 両側準同型写像となる．

A-環の圏と B-環の圏の充満部分圏を，それぞれ

R_{A} = {R | _{A}R_{A} ∈ M_{A−A}}, _{B}R = {S | _{B}S_{B} ∈ _{B−B}M}

によって定めれば，定理 A の精密化の次の定理を述べることができる．

定理 2. (1) (−)^{∗∗} : R_{A} ⇄ _{B}R : (−)^{##} は圏同値を定める．

(2) 各 R ∈ R_{A} に対して， R^{∗} は Morita duality を定める (R^{∗∗}, R) 両側加群となる．

R ∈ R_{A} のとき，_{A}R_{A} ∈ M_{A−A} であるから， R^{∗∗} ∈ _{B−B}M であるが，実際には R^{∗∗} は B-環の構造をもつ．さらに， (−)^{∗∗} は A-環の射を B-環の射に写すことを確かめて，定理 2 の (1) を得る．また，環として R^{∗∗} ≅ End_{R}(R^{∗}) であるから，定理 2 の (2) は定理 A そのものである．この種の結果においては，通常 (定理 A， B， C でも) End_{R}(R^{∗}) が用いられる．こちらの方が環構造は明らかであるが，圏手として見なす場合は R^{∗∗} の方が扱いやすい．また，後述の定理 4 でも R^{∗∗} の方が計算は容易である．

定理 2 より，環 A と B が Morita dual のとき， A と B のある種の拡大環との間には， Morita dual であるという関係の元で，同型の意味で 1 対 1 対応が存在する．次の系は，対応する A-環と B-環のそれぞれ A-， B-部分環全体は一種の annihilator によって 1 対 1 に対応することを示している．

系 3. R ∈ R_{A} に対して， U = R^{∗}， S = U^{∗} = R^{∗∗} とおく． R の A-部分環 R′ に対して，

U′ = {u ∈ U | u(R′) = 0}, S′ = {s ∈ S | s(U′) = 0}

とおけば， U/U′ は Morita duality を定める (S′, R′) 両側加群となる．また，対応 R′ ↦ S′ は R の A-部分環全体と S の B-部分環全体との間の 1 対 1 対応を与える．

この系より，両側加群_{B}Q_{A} が Morita duality を定めるとき，例えば n 次行列環 R = M_{n}(A) の A-部分環も Morita duality をもつことや， Morita dual な環や Morita duality を定める両側加群が annihilator によって具体的に記述できることが分かる．

4 有限中心的拡大

R を A の拡大環とする． A の任意の元と可換な R の元 r_{1}, …, r_{n} で， R = ∑_{i=1}^{n} r_{i}A となるようなものが存在するとき， R は A の有限中心的拡大 (finite centralizing extension) と言われる．両側加群_{A}M_{A} が M = mA = Am と書けるとき， M ∈ M_{A−A} であることが分かる． A の有限中心的拡大環 R は， (A, A) 両側加群として，この_{A}M_{A} のような両側加群の有限個の直和の剰余両側加群であるから，補題 1 より R は R_{A} に属する．したがって定理 2 より有限中心的拡大環に Morita duality は遺伝する．この事実はもちろんよく知られているが，次の定理において，有限中心的拡大 R = ∑_{i=1}^{n} r_{i}A において， r_{1}, …, r_{n} が自由 A-基底になっているとき， R と Morita dual な環を完全に決定した．

なお，有限中心的拡大の一般化として，有限正規拡大と有限三角拡大がある ([1, Sections 8–9] 参照)．これらの拡大環に Morita duality が遺伝することもすでに示されているが，上の有限中心的拡大の場合と同じ論法で示すことができる．有限正規拡大や有限三角拡大については，たとえ生成元が自由基底になっていても， Morita dual な環を具体的に計算することは難しいものと思われる．

Morita duality を定める両側加群_{B}Q_{A} は忠実平衡であるから， A， B の中心は同型，すなわち，環同型写像 α : Cen(A) →^{≅} Cen(B) が存在する．ここで α は，任意の q ∈ Q に対して qa = α(a)q，によって定められる．また次の定理 4 の条件 (3) における a_{ijk} が Cen(A) に属することが直ちに分かる．条件 (3) は，条件 (3)^{∗∗} と対比するために書いただけで，実際には何の制約も与えておらず，単に R は自由であるような A の有限中心的拡大であるという意味である．以上の注意の下，定理 4 を次のように記述できる．

定理 4. 両側加群_{B}Q_{A} は Morita duality を定めるとする． R は A の拡大環で，条件

(1) r_{1}, …, r_{n} は R の A-自由基底である．

(2) 各 r_{i} は A の任意の元と可換である．

(3) r_{i}r_{j} = ∑_{k=1}^{n} r_{k}a_{ijk} (a_{ijk} ∈ A)．

を満たすとする． U = R^{∗}， S = U^{∗} とおく．このとき， U は Morita duality を定める (S, R) 両側加群で， S は条件

(1)^{∗∗} r_{1}^{∗∗}, …, r_{n}^{∗∗} は S の B-自由基底である．

(2)^{∗∗} 各 r_{i}^{∗∗} は B の任意の元と可換である．

(3)^{∗∗} r_{i}^{∗∗}r_{j}^{∗∗} = ∑_{k=1}^{n} r_{k}^{∗∗}α(a_{ijk}) (α(a_{ijk}) ∈ B)．

を満たす．ただし r_{i}^{∗∗} は r_{i}^{∗∗}(u) = u(r_{i}) (u ∈ U) によって定義される S の元である．

この定理は， R の積の構造定数 a_{ijk} と S の積の構造定数 α(a_{ijk}) はほとんど「同じ」であることを示している．半群環の場合，構造定数には 0 か 1 しか現れないが，同型写像 α はそれらを保つから，特別な場合として Fuller-Haack の定理 B を得る．また A = B で α(a_{ijk}) = a_{ijk} の場合として，真野の定理 C を得る．

参考文献

[1] W. Xue. Rings with Morita duality. Springer-Verlag, Berlin, 1992.

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