REMARKS ON TRANSITIVITY OF EXCEPTIONAL SEQUENCES ^{1}

Tokuji Araya

Abstract. Let k be an algebraically closed field of characteristic 0. We denote by C the abelian k-category which has enough projectives (or enough injectives), and by D^{b}(C) the bounded derived category of C.

A complex E^{•} ∈ D^{b} is called exceptional if RHom(E^{•}, E^{•}) ≅ k, and a sequence ϵ = (⋯, E_{i}^{•}, E_{i+1}^{•}, ⋯) of exceptional complexes is called an exceptional sequence if RHom(E_{i}^{•}, E_{j}^{•}) = 0 for all i > j.

Let C be a category modA of finitely generated modules of a hereditary k-algebra A, or a category coh(X) of coherent sheaves of a weighted projective line X over k. In this case, for any exceptional sequence ϵ, the length of ϵ is smaller than or equal to the rank n of Grothendieck group of C. An exceptional sequence ϵ is called complete if the length of ϵ is equal to n. It is shown by W. Crawley-Boevey (in the case of C = modA) and by H. Meltzer (in the case of C = coh(X)) that the braid group B_{n} on n strings acts transitively on the set of complete exceptional sequences.

In this talk, we consider exceptional sequences on a translation quiver Γ.

1. Preliminaries

この講演を通じて Γ = ℤA_{n} を translation quiver とし、 Γ_{0} を Γ の頂点集合、 τ を translation とする。

定義 1.1 X, Y ∈ Γ_{0} とする。

1. X から Y へ arrow があるとき、 X ⋖ Y と表す。

2. X から Y へ path があるとき、 X < Y と表す。

3. X と Y の間に path がないとき、 X ≁ Y と表す。

定義 1.2 頂点集合 Γ_{0} を以下のようにして、 { (p, q) | 1 ≤ p − q ≤ n} と同一視する。 1. 一番下の τ-orbit 上の頂点を、 ⋯, (p, p − 1), (p + 1, p), (p + 2, p + 1), ⋯ とする。

1The detailed version of this paper will be submitted for publication elsewhere.

2. X ∈ Γ_{0} に対し、 X ⋖ (p, q), X ≠ (p − 1, q) のとき、 X = (p, q − 1) と定義する。

X = (p, q), Y = (p′, q′) ∈ Γ_{0} に対し、 X と Y が同じ τ-orbit にあるための必要十分条件は p − q = p′ − q′ であることに注意する。

例 1.3 Γ = ℤA_{4} のとき、次のようになる。

[figure: ⋯; ⋯; ( 1 , −2 ); ( 0 , −1 ); ^{· · · · · · · · · · · · · · ·}; ^{· · · · · · · · · · · · · · ·}; ( 2 , −2 ); ( 1 , −1 ); ^{· · · · · · · · · · · · · · ·}; · · · · · · · · · · · · · · ·; ( 2 , −1 ); ( 1 , 0 ); ^{· · · · · · · · · · · · · · ·}; ^{· · · · · · · · · · · · · · ·}; ( 3 , −1 ); ( 2 , 0 ); ^{· · · · · · · · · · · · · · ·}; · · · · · · · · · · · · · · ·; ( 3 , 0 ); ( 2 , 1 ); ^{· · · · · · · · · · · · · · ·}; ^{· · · · · · · · · · · · · · ·}; ⋯; ⋯]

定義 1.4 syzygy functor Ω : Γ_{0} → Γ_{0} を、 Ω(p, q) = (q, p − n − 1) と定義する。

例 1.5 各 X ∈ Γ_{0} に対し、 τX, ΩX は以下のような位置関係にあることに注意する。

[figure: ^{· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·}; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·; ^{· · · · · ·}; •; •; •; ΩX; τX; X]

k を標数 0 の代数的閉体とし、 n を正の偶数とする。 R = k[x, y]/(y^{2} − x^{n+1}) を 1-次元次数付き環とし、 modR を有限生成次数付き R-加群のなす圏で射は次数を保つものとする。さらに CMR を極大 CM 加群全体のなす充満部分圏とする。このとき、 CMR の Auslander-Reiten quiver の射影加群でない極大 CM 加群全体から得られる full subquiver を Γ とおくと、 Γ = ℤA_{n} である (c.f. [1])。定義 1.4 で定義している Ω は、この状況での syzygy 加群に対応している。

定義 1.6 各頂点 X ∈ Γ_{0} に対し、 S^{+}(X), S^{−}(X), S^{′+}(X), S^{′−}(X), Δ(X) , Δ^{+}(X) , Δ^{−}(X) を以下のように定義する。

1. S^{+}(X) は slice であり、 Y ∈ S^{+}(X) ならば X ≤ Y である。 2. S^{−}(X) は slice であり、 Y ∈ S^{−}(X) ならば Y ≤ X である。

3. S^{′∗}(X) = S^{∗} \ {X} とする。（ここで、 ∗ = +, − である）

4. Δ(X) = { Y ∈ Γ_{0} | X ≁ Y } とする。

5. Δ^{+}(X) = ⋃_{ℓ≥0}(Δ(Ω^{−ℓ}X) ∪ S^{′+}(Ω^{−ℓ}X)) とする。

6. Δ^{−}(X) = ⋃_{ℓ≤0}(Δ(Ω^{−ℓ}X) ∪ S^{′−}(Ω^{−ℓ}X)) とする。

各 X ∈ Γ_{0} に対し、 Δ^{+}(X) は以下のような位置関係にあることに注意する。

[figure: ^{· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·}; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·; ⋯; ⋯; ⋯; Δ^{+}(X); Δ^{+}(X); Δ^{+}(X); Δ^{+}(X); Δ^{+}(X); Δ^{+}(X); •; •; X; τ^{−1}X; •; •; Ω^{−1}X; τ^{−1}Ω^{−1}X; •; •; Ω^{−2}X]

先程も述べたが、 Γ は、 1 次元次数付き環 R = k[x, y]/(y^{2} − x^{n+1}) 上の極大 CM 加群のなす圏 CMR の Auslander-Reiten quiver の full subquiver を意識している。 R-上での exceptional sequence の定義は以下の通りである。定義 1.7 R = ⨁_{i≥0} R_{i} を次数付き環で、 R_{0} = k を標数 0 の代数的閉体とする。このとき、

1. 有限生成 R-加群 E が exceptional であるとは、 \{ \begin{matrix}Hom(E, E) ≅ k \\ Ext^{ℓ}(E, E) = 0 (ℓ > 0) \end{matrix} をみたすことである。

2. exceptional 加群の列 ϵ = (⋯, E_{i}, E_{i+1}, ⋯) が exceptional sequence であるとは、 Ext^{ℓ}(E_{i}, E_{j}) = 0 (i > j, ℓ ≥ 0) をみたすことである。

R = k[x, y]/(y^{2}−x^{n+1}) （n は正の偶数）のときには次のことがわかっている (c.f.[1],[2])。補題 1.8 R = k[x, y]/(y^{2} − x^{n+1}) （n は正の偶数）とし、 Γ を CMR の Auslander-Reiten quiver の射影加群でない極大 CM 加群全体から得られる full subquiver とする。このとき、 1. 任意の直既約極大 CM 加群は exceptional である。

2. （射影加群でない）直既約極大 CM 加群 X, Y に対し、 Hom(X, Y) ≠ 0 であるための必要十分条件は X ≤ Y (in Γ) である。

3. （射影加群でない）直既約極大 CM 加群 X, Y と正の整数 ℓ に対し、次は同値である。

(a) Ext^{ℓ}(X, Y) ≠ 0

(b) Ω^{ℓ}X ≤ Y ≤ τΩ^{ℓ−1}X (in Γ)

(c) τ^{−1}Ω^{−ℓ+1}Y ≤ X ≤ Ω^{−ℓ}Y (in Γ)

注意 1.9 R, Γ を補題 1.8 の通りとし、 X, Y を射影加群でない直既約極大 CM 加群とする。このとき、次は同値である。

1. すべての整数 ℓ に対し、 Ext^{ℓ}(X, Y) = 0 である。

2. X ∈ Δ^{+}(Y) である。

3. Y ∈ Δ^{−}(X) である。

これらのことから、一般の translation quiver Γ = ℤA_{n} に対し、 exceptional sequence を以下のように定義する。

定義 1.10 頂点 E_{1}, E_{2}, ⋯, E_{r} ∈ Γ_{0} に対し、列 ϵ = (E_{1}, E_{2}, ⋯, E_{r}) が exceptional sequence であるとは、次の条件をみたすことである。

E_{i} ∈ ⋂_{j<i} Δ^{+}(E_{j}) (1 < i ≤ r)

この条件は次の条件と同値である。

E_{i} ∈ ⋂_{j>i} Δ^{−}(E_{j}) (1 ≤ i < r)

2. Main results

主結果を述べるためにもう少し準備をする。

定義 2.1 ϵ = (E_{1}, E_{2}, ⋯, E_{r}) を exceptional sequence とする。 E_{i}, E_{j} が次の二条件をみたすとき、 E_{i} ⋖_{ϵ} E_{j} と表す。 1. E_{i} ∈ S^{′−}(E_{j}) である。

2. もし E_{i} ≤ E_{m} ≤ E_{j} ならば、 m = i または m = j である。 exceptional sequence の定義より次のことが成立していることが容易に確かめられる。

補題 2.2 ϵ = (E_{1}, E_{2}, ⋯, E_{r}) を exceptional sequence とする。このとき、次のどの列も exceptional sequence になる。

1. E_{i−1} ≁ E_{i} のとき、 (E_{1}, E_{2}, ⋯, E_{i−2}, E_{i}, E_{i−1}, E_{i+1}, ⋯, E_{r})

2. E_{j} ∉ S^{′−}(E_{i}) (∀j) のとき、 (E_{1}, E_{2}, ⋯, E_{i−1}, ΩE_{i}, E_{i+1}, ⋯, E_{r})

3. E_{j} ∉ S^{′+}(E_{i}) (∀j) のとき、 (E_{1}, E_{2}, ⋯, E_{i−1}, Ω^{−1}E_{i}, E_{i+1}, ⋯, E_{r})

4. E_{i} = (p, q), E_{j} ⋖_{ϵ} E_{i} ならば j = i − 1 のとき、 (E_{1}, E_{2}, ⋯, E_{i−2}, E′_{i}, E_{i−1}, E_{i+1}, ⋯, E_{r})

但し、 E′_{i} = \{ \begin{matrix}(q, q′) & (E_{i−1} = (p, q′) のとき) \\ (p′, p − n − 1) & (E_{i−1} = (p′, q) のとき) \end{matrix}

5. E_{i} = (p, q), E_{i} ⋖_{ϵ} E_{j} ならば j = i + 1 のとき、 (E_{1}, E_{2}, ⋯, E_{i−2}, E′_{i}, E_{i−1}, E_{i+1}, ⋯, E_{r})

但し、 E′_{i} = \{ \begin{matrix}(q + n + 1, q′) & (E_{i+1} = (p, q′) のとき) \\ (p′, p) & (E_{i+1} = (p′, q) のとき) \end{matrix}

6. E_{i−2} = (p, q′), E_{i−1} = (p′, q), E_{i} = (p, q) のとき、

(E_{1}, E_{2}, ⋯, E_{i−3}, E′_{i}, E_{i−2}, E_{i−1}, E_{i+1}, ⋯, E_{r})

但し、 E′_{i} = (p′, q′)

7. E_{i} = (p, q), E_{i+1} = (p′, q), E_{i+2} = (p, q′) のとき、

(E_{1}, E_{2}, ⋯, E_{i−1}, E_{i+1}, E_{i+2}, E′_{i}, E_{i+3}, ⋯, E_{r}) 但し、 E′_{i} = (p′, q′)

定義 2.3 ϵ, ϵ′ を exceptional sequence とする。 ϵ に補題 2.2 の変形を有限回行って ϵ′ になるとき、 ϵ ∼ ϵ′ と表す。

定理 2.4 ϵ を exceptional sequence とする。このとき、 exceptional sequence ϵ′ と slice S で、 ϵ ∼ ϵ′, ϵ′ は S に埋め込めるものが存在する。

証明二段階に分けて証明する。

Step 1. ϵ = (E_{1}, E_{2}, ⋯, E_{r}) とおくとき、 ϵ′ = (E′_{1}, E′_{2}, ⋯, E′_{r}) で、 ϵ ∼ ϵ′, E′_{1} = E_{1}, E′_{i} ∈ S^{−}(E′_{1}) ∪ Δ(E′_{1}) ∪ S^{+}(E′_{1}) (∀i) をみたすものが存在する。

各 i に対し、 ℓ_{i} を E_{i} ∈ Δ(Ω^{−ℓ_{i}}E_{1}) ∪ S^{+}(Ω^{−ℓ_{i}}E_{1}) をみたす数として定義する。 exceptional sequence の定義より、 ℓ_{i} ≥ 0 であるので、 ℓ = ∑_{i=1}^{r} ℓ_{i} に関する帰納法で示

す。 ℓ = 0 ならば ϵ′ = ϵ ととればいい。 ℓ > 0 のとき、 i = min{ j | ℓ_{j} > 0 } とおく。

E_{j} ∉ S^{′−}(E_{i}) (∀j) のとき、 ϵ′′ = (E_{1}, E_{2}, ⋯, E_{i−1}, ΩE_{i}, E_{i+1}, ⋯, E_{r}) とおく。このとき、補題 2.2.2 より、 ϵ ∼ ϵ′′ であり、 ΩE_{i} ∈ Δ(Ω^{−(ℓ_{i}−1)}E_{1}) ∪ S^{+}(Ω^{−(ℓ_{i}−1)}E_{1}) なので、帰納法の仮定より条件をみたす ϵ′ をとることができる。

E_{j} ∈ S^{′−}(E_{i}) なる j が存在するとき、 E_{j} ⋖_{ϵ} E_{i} とする。このとき、 E_{j} の取り方より、（必要ならば補題 2.2.1 を使うことで） j = i − 1 としてよい。 E_{j} ⋖_{ϵ} E_{i} をみたす j が i − 1 のときのみの場合には、 ϵ′′ を補題 2.2.4 のようにとる。 j ≠ i − 1 なる j で E_{j} ⋖_{ϵ} E_{i} をみたすものが存在するとき、（必要ならば補題 2.2.1 を使うことで） j = i − 2 とできる。そして、 ϵ′′ を補題 2.2.6 のようにとる。いずれの場合でも ϵ ∼ ϵ′′ である。ここで、 i の取り方から ℓ_{i−1} = 0 であり、 E′_{i} < E_{i−1} より E′_{i} ∈ Δ(E_{1}) ∪ S^{+}(E_{1}) である。よってこの場合も帰納法の仮定より条件をみたす ϵ′ をとることができる。

Step 2. ϵ′ を step 1. のようにとると、 ϵ′ はある slice S に埋め込むことができる。

ϵ′ = (E′_{1}, E′_{2}, ⋯, E′_{r}) とおく。 exceptional sequence の定義より、任意の i ≠ j に対し E′_{i} ∈ S^{′−}(E′_{j})∪Δ(E′_{j})∪S^{′+}(E′_{j}) をみたすことに注意する。さらに、 i ≠ j ならば、 E′_{i} と E′_{j} は異なる τ-orbit にあることに注意する。 E′_{i} = (p_{i}, q_{i}) とおき、 p_{i}−q_{i} = t_{i} とおく。このとき、 S を次のようにとる。すべての E′_{i} は S に属しているとする。 1 ≤ t ≤ r, t ∉ { t_{1}, t_{2}, ⋯ t_{r} } に対し、 t_{i} = max{ t_{i} | t_{i} < t }, t_{j} = min{ t_{j} | t_{j} > t } をとる。さらに、 Y ∈ S^{′+}(E′_{i})∩S^{′+}(E′_{j}) をとる。そして、 X = (p, q) を p − q = t, X ∈ S^{−}(Y) ∩ (S^{′+}(E′_{i}) ∪ S^{′+}(E′_{j})) ととり、この X が S に属するとすると、 S は slice である。 □

系 2.5 ϵ = (E_{1}, E_{2}, ⋯, E_{r}) を exceptional sequance とすると、 r ≤ n である。

系 2.6 長さ n の任意の exceptional sequance ϵ, ϵ′ に対し、 ϵ ∼ ϵ′ である。

参考文献

[1] T. Araya, Exceptional sequences over graded Cohen-Macaulay rings, Math. J. Okayama Univ. vol.41, 81-102 (1999).

[2] T. Araya, A characterization of one dimensional N-graded Gorenstein rings of finite Cohen-Macaulay representation type, Math. J. Okayama Univ. vol.42, pp 61-66 (2000).

[3] W. Crawley-Boevey Exceptional sequences of representations of quivers, Representation of algebras, Sixth International Conference, Ottawa 1992, CMS Conf. Proc. 14 (1993), 117-124

[4] H. Meltzer Exceptional vector bundles, tilting sheaves and tilting complexes on weighted projective lines, preprint

[5] Y. Yoshino, Cohen-Macaulay Modules over Cohen-Macaulay Rings, London Math. Soc., Lecture Note Series vol.146, Cambridge U.P.(1990)

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