Finitely Cogenerated Distributive Modules^{∗}

Yasutaka SHINDOH (新堂安孝)

平成 16 年 1 月 7 日

概要 In this paper we consider a generalization of Vámos’s proposition which asserts that finitely generated artinian and distributive modules are cyclic. Also, we show its duality as an answer to the problem which is shown by him (See [Vam78]).

1 導入

この文書中では、全ての “A” は特に断わりのない限り、 non-zero identity を持ち、全ての module は unitary な left A-module とする。

初めにいくつかの定義について言及する。 module を distributive と呼ぶのは、その submodule 全体による lattice が distributive law を満たすときである。 2 つの module M_{1} と M_{2} が unrelated pair を成すと言うのは、以下の条件を満たすときである。

L_{1}/N_{1} ≃ L_{2}/N_{2} となるような submodule の列 N_{i} ≤ L_{i} ≤ M_{i}
(i = 1, 2) は、常に L_{1} = N_{1} かつ L_{2} = N_{2} となる。

以下の 2 つの remark (Remark 2 は [Ste74, Proposition 1.3] である) と [Erd87] の結果から、 distributive module 周辺の研究において unrelated pair という概念が重要な役割を演じていることが分かる。 Remark 1. module M に対して以下の条件は互いに同値である。

(1) M は distributive である。

(2) 任意の M の submodule N に対し、 N と M/N は distributive となる。

(3) N と M/N が distributive であり、かつ unrelated pair をなすような M の submodule N が存在する。 Remark 2. M_{i} (i ∈ I) を distributive module とする。また、 M をその direct sum としたとき、以下の条件は互いに同値となる。

∗This is not in a final form. This note is a summary of the paper [Shi0X]

(1) M は distributive である。

(2) 任意の異なる subscript i, j ∈ I に対して、 M_{i} と M_{j} は unrelated pair をなす。

適当な module X に対して module M が以下の条件を満たしているとき、 M を X-cyclic と呼ぶ。

∑_{α∈Hom_{A}(X,M)} Imα = M であるとき、 epimorphism α ∈
Hom_{A}(X, M) が存在する。

また、同様に以下の条件を満たしているとき、 M を X-cocyclic と呼ぶ。

⋂_{β∈Hom_{A}(M,X)} Kerβ = 0 であるとき、 monomorphism β ∈
Hom_{A}(M, X) が存在する。

明らかに “A-cyclic” と “cyclic” は互いに同値な条件である。 Section 2 において、 X-cyclic module と X-cocyclic module の基本的な性質について考える。

module M を semilocal と呼ぶのは、 factor module M/Rad(M) が semisimple のときである (Rad(M) は M の Jacobson radical)。 Section 3 において、これらの概念を使って以下の theorem を得る。これは [Vam78] の主結果の一般化となるもの、また、双対となるものを含んでいる。後者は [Vam78] で提出された問題の現代的な解と考えることが出来る。

Theorem 1. distributive module M に対して、以下が成り立つ。

(1) M は、 finitely generated semilocal であれば、任意の projective module P に対して P -cyclic である。

(2) M は、 finitely cogenerated であれば、任意の injective module Q に対して Q-cocyclic である。

この報告書の目的は、上記 theorem を証明して実際に結果を得ることである。

2 X-cyclic module と X-cocyclic module

まず初めに以下の 2 つの lemma を示す。これらの結果は比較的容易に導くことが出来るだろう。

Lemma 2. 2 つの non-zero module M と X に対して、以下の条件は互いに同値である。 (1) ∑_{α∈Hom_{A}(X,M)} Imα ≠ M

(2) 全ての α ∈ Hom_{A}(X, M) に対して ακ = 0 を満たすような、 nonzero module V と non-zero homomorphism κ ∈ Hom_{A}(M, V) が存在する。

(3) Hom_{A}(1_{X}, φ) : Hom_{A}(X, V) → Hom_{A}(X, M) ; γ ↦ γφ が surjective となるような、 module V と surjective でない homomorphism φ ∈ Hom_{A}(V, M) が存在する。

Lemma 3. 2 つの non-zero module M と X に対して、以下の条件は互いに同値である。

(1) ⋂_{β∈Hom_{A}(M,X)} Kerβ ≠ 0

(2) 全ての β ∈ Hom_{A}(M, X) に対して λβ = 0 を満たすような、 nonzero module W と non-zero homomorphism λ ∈ Hom_{A}(W, M) が存在する。

(3) Hom_{A}(ψ, 1_{X}) : Hom_{A}(W, X) → Hom_{A}(M, X) ; δ ↦ ψδ が surjective となるような、 module W と injective でない homomorphism ψ ∈ Hom_{A}(M, W) が存在する。

また、これらの lemma と関連して、以下の 2 つ proposition が分かる。

Proposition 4. 2 つの non-zero module M と X に対して、以下の条件は互いに同値である。

(1) M は X-cyclic である。

(2) M と X は以下のどちらか一方の条件を満たす。 • epimorphism α_{0} ∈ Hom_{A}(X, M) が存在する。

• M と X は Lemma 2 の条件を満たす。

Proposition 5. 2 つの non-zero module M と X に対して、以下の条件は互いに同値である。

(1) M は X-cocyclic である。

(2) M と X は以下のどちらか一方の条件を満たす。 • monomorphism β_{0} ∈ Hom_{A}(M, X) が存在する。

• M と X は Lemma 3 の条件を満たす。

以上の結果から、以下に示す (抽象的な) 例が得られる。これは “cyclic” と “X-cyclic” の違いの一部を示すものと考えることが出来る。

Example 1. 3 つ simple module M_{1}, M_{2}, M_{3} について考える。このとき、 M_{1} と M_{2} は isomorphic であり、 M_{3} はそれらと isomorphic でないならば、以下が成り立つ。ただし、 M を M_{1}, M_{2}, M_{3} の direct sum と、 N を M_{1}, M_{2} の direct sum とする。

(1) M は M_{1}-cyclic であり、 N は M の epimorphic image であるが、 N は M_{1}-cyclic ではない。

(2) M は M_{1}-cocyclic であり、 N は M の submodule であるが、 N は M_{1}-cocyclic ではない。

この章の最後に、以下の remark も示しておく。 Remark 3. 一般的な条件として以下が成り立つ。

(1) 全ての module は 0-cyclic であり 0-cocyclic である。

(2) simple module と 0 は任意の module X に対して X-cyclic であり X-cocyclic である。

(3) 全ての local module は任意の module X に対して X-cyclic である。

(4) 全ての colocal module は任意の module X に対して X-cocyclic である。

3 Theorem 1 の証明について

章の初めに以下の remark ([Ste74, Proposition 1.2] と同等のもの) について触れておこう。 Remark 4. module M を module M_{i} (i ∈ I) の direct sum とする。このとき、以下の条件は互いに同値である。

(1) 全ての異なる subscript i, j ∈ I に対して、 M_{i} と M_{j} は unrelated pair をなす。

(2) H ∩ K = ∅ を満たす I の任意の finite subset H, K に対して、 ⨁_{h∈H} M_{h} と ⨁_{k∈K} M_{k} は unrelated pair をなす。

(3) M の任意の submodule N に対して、 N = ⨁_{i∈I}(N ∩ M_{i}) が成立する。

この remark から、以下の proposition を得ることが出来る。

Proposition 6. 2 つの module X と M = ⨁_{i=1}^{h} M_{i} について考える。任意の異なる subscript i, j ∈ {1, …, h} に対して M_{i} と M_{j} が unrelated pair をなすならば、以下が成り立つ。

(1) 全ての subscript i ∈ {1, …, h} に対してepimorphism α_{i} ∈ Hom_{A}(X, M_{i}) が存在するならば、 epimorphism α ∈ Hom_{A}(X, M) が存在する。

(2) 全ての subscript i ∈ {1, …, h} に対してmonomorphism β_{i} ∈ Hom_{A}(M_{i}, X) が存在するならば、 monomorphism β ∈ Hom_{A}(M, X) が存在する。

この結果から、以下の corollary を得ることが出来る。

Corollary 7. 2 つの module X と M = ⨁_{i=1}^{h} M_{i} について考える。任意の異なる subscript i, j ∈ {1, …, h} に対して M_{i} と M_{j} が unrelated pair をなすならば、以下が成り立つ。

(1) 任意の subscript i ∈ {1, …, h} に対して M_{i} が X-cyclic であるならば、 M も X-cyclic である。

(2) 任意の subscript i ∈ {1, …, h} に対して M_{i} が X-cocyclic であるならば、 M も X-cocyclic である。

更に以下の remark を示す。 Remark 5. P を projective module、 M を module、 N を M の small submodule とする。このとき、 epimorphism α ∈ Hom_{A}(P, M/N) が存在するならば、 α = α′π (ただし π は M から M/N への natural epimorphism) となる epimorphism α′ ∈ Hom_{A}(P, M) が存在する。 Remark 6. Q を injection module、 M を module、 N を M の essential submodule とする。このとき、 monomorphism β ∈ Hom_{A}(N, Q) が存在するならば、 β = ιβ′ (ただし ι は N から M への canonical injection) となる monomorphism β′ ∈ Hom_{A}(M, Q) が存在する。

この remark から、以下の lemma を得ることが出来る。

Lemma 8. P を projective module、 M を module、 N を M の small submodule とする。このとき、 M が P -cyclic であることと M/N が P - cyclic であることは互いに同値である。

Lemma 9. Q を injective module、 M を module、 N を M の essential submodule とする。このとき、 M が Q-cocyclic であることと N が Qcocyclic であることは互いに同値である。

以上の結果から、以下の P -cyclic module と Q-cocyclic module に関する重要な proposition を得ることが出来る。

Proposition 10. P を projective module、 M を module、 N を M の small submodule とする。このとき、以下の条件は互いに同値である。

(1) M は P -cyclic である。

(2) 以下の 2 つの条件を満たすような decomposition M/N = ⨁_{i=1}^{h} M_{i}/N

が存在する。 • 異なる任意の subscript i, j ∈ {1, …, h} に対して、 M_{i}/N と M_{j}/N は unrelated pair をなす。

• 全ての M_{1}/N, …, M_{h}/N は P -cyclic である。

Proposition 11. Q を injective module、 M を module、 N を M の essential submodule とする。このとき、以下の条件は互いに同値である。

(1) M は Q-cocyclic である。

(2) 以下の 2 つの条件を満たすような decomposition N = ⨁_{i=1}^{h} N_{i} が

存在する。 • 異なる任意の subscript i, j ∈ {1, …, h} に対して、 N_{i} と N_{j} は unrelated pair をなす。

• 全ての N_{1}, …, N_{h} は Q-cocyclic である。ここまでの結果から、 Theorem 1 を得ることが出来る。

参考文献

[Erd87] V. Erdoğdu, Distributive modules, Canad. Math. Bull. 30 (1987), no. 2, 248–254.

[Kas82] F. Kasch, Modules and rings, London Math. Soc. Mon., no. 17, Academic Press, London-New York, 1982.

[Shi03] Y. Shindoh, A submodule unrelated to the corresponding factor module over a commutative ring, J. Algebra Appl. 2 (2003), no. 1, 101–104.

[Shi0X] Y. Shindoh, Finitely cogenerated distributive modules are Qcocyclic, preprint.

[Ste74] W. Stephenson, Modules whose lattice of submodules is distributive, Proc. London Math. Soc. 28 (1974), no. 3, 291–310.

[Tug98] A. A. Tuganbaev, Semidistributive modules and rings, Mathematics and its Applications, no. 449, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1998.

[Vam78] P. Vámos, Finitely generated artinian and distributive modules are cyclic, Bull. London Math. Soc. 10 (1978), no. 3, 287–288.

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