Self-Duality of Quasi-Harada Rings and Locally Distributive Rings ^{∗}

Kazutoshi Koike

Abstract

Recently Y. Baba [1] proved that a QH ring (quasi-Harada ring) R has a selfduality if gRg is a local serial ring with some condition, where g is an idempotent of R with gR a minimal faithful right R-module. Motivated by this result, we also investigate self-duality of QH rings and obtain several results including an improvement of the result of Y. Baba and applications to self-duality of locally distributive rings.

最近馬場 [1] は両側 QH 環 (quasi-Harada 環) の self-duality について研究し，特に A がある条件 (∗∗) を満たす local serial 環であれば， A の Auslander 環 (有限表現型の環に対して有限生成直既約加群全体の直和の自己準同型環として定義される環) は self-duality をもつことを示した．この結果について，筆者は「条件 (∗∗) を落とせないか?」という疑問を抱き，片側 QH 環の self-duality の研究を開始したが，もっと一般的な形でいろいろな結果を得ることができ，その系として (∗∗) だけでなく local 性も落とすことができた．

以下この報告集では，すべての環は単位元をもち, すべての加群は単位的であるとする. 加群 M に対して, その radical, socle, 移入包絡を, それぞれ J(M), S(M), E(M) で表す.

1 いろいろなクラスの環の self-duality

まず最初にさまざまな self-duality の定義を思い出しておこう．環 R, S に対して， Morita duality を定める両側加群_{S}U_{R} が存在するとき， R は S に右 Morita dual であるといい，この報告集では，記号 S ≈^{dual} R によって表すことにする．特に R ≈^{dual} R のとき， R は selfduality をもつという． self-duality の一般化として，環の列 R_{1} = R, R_{2}, …, R_{n+1} = R で， R_{1} ≈^{dual} R_{2} ≈^{dual} … ≈^{dual} R_{n+1} となるものが存在するとき， R は almost self-duality をもつという． self-duality を定める両側加群_{R}U_{R} について， R の任意の原始巾等元 e に対して， S(eU) ≅ eR/J(eR) が成り立つとき，_{R}U_{R} は weakly symmetric self-duality を定めるという．また， R の任意のイデアル I に対して， l_{R}l_{U}(I) = I が成り立つとき，_{R}U_{R} は good self-duality を定めるとをいう．ここで l_{R} や l_{U} は左 annihilator を表す．_{R}U_{R} が good self-duality を定めれば， weakly symmetric self-duality を定める． almost self-duality, weakly self-duality, good self-duality は任意の corner 環に遺伝し， good self-duality は剰余環にも遺伝する．ここで，環 R の corner 環とは eRe (e は R の巾等元) の形の環である．

∗The detailed version of this note will be submitted for publication elsewhere.

次に今回の研究の主題となる locally distributive 環と QH 環の定義を与えておく．両側アルチン環 R は，任意の原始巾等元 e に対して eR_{R}, _{R}Re が分配的 (すなわち部分加群全体の束が分配的) なとき， locally distributive であるという．明らかに serial 環は locally distributive 環である．また左アルチン環 R は，任意の直既約射影的右 R 加群が擬移入的 (quasi-injective) であるとき左 QH 環 (quasi-Harada 環) であるという． (左 QH 環の概念は左 H 環の一般化として，馬場・岩瀬 [2] によって定義された． ) 片側 H 環や両側 QH 環は QF-3 である．定義より直ちに分かるように，左 QH 環は右 QF-2 である．ここで， semiprimary 環 R が右 QF-2 であるとは，任意の直既約射影的右 R 加群は単純な socle をもつことをいう．

すでに知られている self-duality の例も交えて，主結果の一部を表形式にまとめておく． ∗ 印を付けたものは今回筆者が示したものである．

強  ⟶  弱
(G)  (W)  (S)  (A)

good

self-duality weakly symmetric self-duality self-duality almost

self-duality

↓ (1)  QF 環×○
(2)  左 H 環×○
(3)  左 QH 環×？
(3′) (+ イデアルは有限個) ×○^{∗}
↓ (4)  serial 環○
(5) locally distributive 環？  ⇔ ？  ⇔^{∗} ？？
(5′)  (+ 右 serial)  ○^{∗}
(5′′)  (+ 右 QF-2)  ？  ⇔ ？  ⇔^{∗} ？○^{∗}
(6)  完全アルチン環？？  ⇔^{∗} ？？

この表において，例えば， 1 行 S 列は「すべての QF 環は self-duality をもつ」ということを示している． (G) good self-duality， (W) weakly symmetric self-duality， (S) selfduality， (A) almost self-duality は，この順に弱くなっているので， 1 つに○が付けば，その右側の○は省略する．また， 1 行 W 列の×は，○の否定，すなわち「weakly symmetric self-duality をもたない QF 環が存在する」ということを表している． (このような QF 環の例や 2 行 S 列， 2 行 W 列との関係，また 2 行 A 列の左 H 環の almost self-duality の存在については，それぞれ Kraemer [6]，加戸・大城 [3]，筆者 [4, 5] を参照のこと． ) 左 H 環は almost self-duality(2 行 A 列) をもつから，左 H 環の一般化である左 QH 環の almost self-duality (3 行 A 列) が問題になる．これに対する解答は得られなかったが，左 QH 環にイデアルは有限個のみであるという条件を付加すると， almost self-duality をもつ (3′ 行 A 列) ことを証明できた． (なお， 2 行 S 列の例は 3′ 行 S 列の例にもなっている． )

一方， QF 環と並んで self-duality がよく知られている serial 環は，実際には good selfduality をもつ (4 行 G 列)． locally distributive 環は serial 環の一般化であるから，その self-duality が問題となるが，これは東屋の予想「すべての完全アルチン環は self-duality をもつ」 (すなわち「上の表の 6 行 S 列は○である」 ) と密接に関係している．完全アルチン環とは locally distributive 環を含む環のクラスなので，東屋の予想が正しければ，すべての locally distributive 環は self-duality をもつ (すなわち， 5 行 S 列は○である) ことになるが，この問題は未解決である．今回筆者は， locally distributive 環に，右 QF-2 を仮定すれば almost self-duality をもつ (5′′ 行 A 列) ことと，さらに右 serial を仮定すれば good self-duality をもつ (5′ 行 G 列) ことを示した． (locally distributive 環，完全環や東屋の予想については， Xue [7] の 4 章を参照のこと． )

なお，この表で “⇔” は，その左右の duality の存在の有無が同値であることを示している．ここでも^{∗} 印が付いたものは，今回の研究において加戸・大城 [3] の手法を用いて筆者が示してものであるが，本報告集ではこれ以上は触れない．

2 diagonally complete な部分環の Morita duality

以下，本論に入ろう．今回の研究において，筆者が diagonally complete と名付けたある種の部分環が大変重要な役割を果たした． R′ を環 R の部分環とする． R の直交巾等元の完全系 {e_{1}, …, e_{n}} で， ⨁_{i=1}^{n} e_{i}Re_{i} ⊂ R′ となるものが存在するとき， R′ は R の diagonally complete な部分環であるという．この {e_{1}, …, e_{n}} に関する条件は， R′ は R を行列表示したときの対角成分を含んでいることと同値である． diagonally complete な部分環の Morita duality について，次が成り立つ．

定理 1. 両側加群_{S}U_{R} は Morita duality を定めるとし， {e_{1}, …, e_{n}}, {f_{1}, …, f_{n}} をそれぞれ R, S の直交巾等元の完全系で，各 i に対して S(f_{i}U) と e_{i}R/J(e_{i}R) に現れる単純部分加群は同じであるようなものとする． ⨁_{i=1}^{n} e_{i}Re_{i} を含む R の diagonally complete な部

分環 R′ に対して， S′ = ⨁_{i,j} l_{f_{i}Sf_{j}}l_{f_{j}Ue_{i}}(e_{i}R′e_{j}) とおく．このとき， S′ ≈^{dual} R′ で， R′ ↦ S′

は ⨁_{i=1}^{n} e_{i}Re_{i} を含む R の diagonally complete な部分環全体と ⨁_{i=1}^{n} f_{i}Sf_{i} を含む S の diagonally complete な部分環全体との間の 1 対 1 対応を定める．

系 2. 左右の Morita duality や good self-duality は diagonally complete な部分環に遺伝する．

3 左 QH 環の構造

左 QH 環 R の構造を記述するために重要な役割を果たす 2 つの環 Λ(R) と Γ(R) がある． 1 つ目は Λ(R) = End_{R}(E(R_{R})) と定める．これについては，次の簡単だが重要な補題が成り立つ．

補題 3. 左 QH 環 R に対して， S = {α ∈ Λ(R) | α(R) ≤ R}, I = {α ∈ Λ(R) | α(R) = 0} とおけば， S は Λ(R) の diagonally complete な部分環， I は S のイデアルであり， R ≅ S/I が成り立つ．

今回の研究で Λ(R) も再び左 QH 環になることが分かった． R が左 H 環のときには， Λ(R) だけでなく S も左 H 環になり， S や I の形も完全に決定される．この場合の表示 R ≅ S/I は，いわゆる「左 H 環の行列表現」に他ならない．

E を左 QH 環 R の直交原始巾等元の完全系とし， f = ∑ {e ∈ E | S(R_{R})e ≠ 0} とおき，もう 1 つの環 Γ(R) を Γ(R) = fRf と定める． Γ(R) も再び左 QH 環になる (馬場・岩瀬 [2, Proposition 8(1)])． f と対称的に， g = ∑ {e ∈ E | eS(_{R}R) ≠ 0} とおけば，これらの環について，次の関係が成り立つ．

S ↠_{ring}^{factor} R
d.c. subring ⋂  ⋃ corner ring
End_{R}(E(R_{R})) = Λ(R) ≈^{dual} Γ(R)
≈^{eq.} ↕  ∥
(R が QF-3 のとき)gRg ≈^{dual} fRf

ここで “≈^{eq.}” は Morita equivalent， “factor ring” は剰余環， “d.c.subring” は diagonally complete な部分環， “corner ring” は corner 環であることを表す．この図式は， corner 環 Γ(R) は R より小さいが Λ(R) と Morita dual であり， Λ(R) の diagonally complete な部分環の剰余環として R は復元できること， R が QF-3 のときには gRg を Λ(R) の代わりに考えても良いことを示している．

上の図式において， R が QF-3 であれば， gR は極小忠実右加群で， gRg は Λ(R) と Morita equivalent である．一方 serial 環は good self-duality をもつ．したがって，系 2 と上の図式より得られる次の定理は，冒頭で触れた馬場氏の定理 [1, Theorem 5] を導く．ただし， Q_{max}^{r}(R) は R の極大右商環を表す．

定理 4. 左 QH 環 R が good self-duality をもつことと，環 Q_{max}^{r}(R)， Λ(R)， Γ(R) (R が QF-3 のとき gRg も) のどれか 1 つが good self-duality をもつこととは同値である．

左 QH 環は左アルチン的で左 Morita duality をもつが，右側についても次を得た．

定理 5. 左 QH 環は右 Morita duality をもち，特に右アルチン的である．

左 QH 環 R に対して， Γ を次々に取り続けて R = Γ^{0}(R), Γ^{1}(R), Γ^{2}(R), … を考えれば， Γ の定義より，いずれこの操作は終了し，右 Kasch 環 (任意の単純右加群が右 socle に現れるような環) に到達するが，それは QF 環であることが分かる．同様に， Λ を次々取り続けて， R = Λ^{0}(R), Λ^{1}(R), Λ^{2}(R), … を考えれば，次の定理を得る．

定理 6. 左 QH 環 R に対して，次が成り立つ．

(1) 各 i ≥ 0 に対して， Λ^{i}(R) ≈^{dual} ΓΛ^{i−1}(R) ≈^{dual} ⋯ ≈^{dual} Γ^{i−1}Λ(R) ≈^{dual} Γ^{i}(R) で，これらも左 QH 環である．

(2) 各 i ≥ 1 に対して， Λ^{i}(R) の diagonally complete な部分環 S_{i} と， S_{i} のイデアル I_{i} が存在して， Λ^{i−1}(R) ≅ S_{i}/I_{i} となる．

(3) ある m ≥ 0 が存在して， Λ^{m}(R) ≈^{eq.} Γ^{m}(R) となり，これらは QF 環である．

この定理は，左 H 環の場合と同様に，すべての左 QH 環は QF 環から構成可能であることを示している．この状況を図示すると次のようになる．

S_{1}  ↠  R
∩  ∪
S_{2} ↠  Λ(R) ≈^{dual} Γ(R)
∩  ∪  ∪
S_{m−1}(R) ↠  ⋮  ⋮
∩  ∪  ∪
S_{m} ↠ Λ^{m−1}(R) ≈^{dual} ⋯ ≈^{dual} Γ^{m−2}Λ(R) ≈^{dual} Γ^{m−1}(R)
∩ ∪ ∪ ∪
Λ^{m}(R) ≈^{dual} ΓΛ^{m−1}(R) ≈^{dual} ⋯ ≈^{dual} Γ^{m−1}Λ(R) ≈^{dual} Γ^{m}(R)

ここで “∪” は corner 環， “∩” は diagonally complete な部分環， “↠” は剰余環であることを意味する．

したがって左 QH 環の性質で，この図式の右側の縦の列の梯子を下がる (corner 環に遺伝する) ものや，左下から右上の階段を上る (diagonally complete な部分環と剰余環に遺伝する) ものは， QF 環に帰着される．

4 self-duality への応用

最後に self-duality への応用 (2 節の表の○^{∗}) について述べておく．

左 QH 環は右 QF-2 であるが， locally distributive 環については逆も成り立つ．

補題 7. locally distributive 右 QF-2 環は左 QH 環である．

片側 serial 環の corner 環も片側 serial である．また，片側 serial な QF 環は両側 serial となり， good self-duality をもつ．したがって，補題 7 と上の図式，系 2 より次が成り立つ．定理 8. すべての locally distrbutive 右 serial 環は good self-duality をもつ．

イデアルは有限個に限るという性質は，上の図式の梯子を下り，階段を上る性質で，イデアルが有限個のとき， almost self-duality の存在は階段を上る性質である．また有限表現型の環や locally distrbutive 環のイデアルは有限個しかない．したがって次の定理を得る．

定理 9. イデアルが有限個しかないような左 QH 環は almost self-duality をもつ．特に，有限表現型の左 QH 環や locally distrbutive 右 QF-2 環は almost self-duality をもつ．

これらの結果は，東屋の予想の特別な場合「すべての locally distributive 環は self-duality をもつ」の部分的な解答と見なせる．やはり QF 環の議論に帰着して次の結果も得た．

定理 10. R を locally distributive 右 QF-2 環， {e_{1}, …, e_{n}} を R の直交原始巾等元の基本系とし， S(R_{R})e_{i} ≠ 0 であるような e_{i} の個数を m とする．

(1) m ≤ 2 ならば R は good self-duality をもつ．特に S(R_{R}) が homogeneous ならば R は good self-duality をもつ．

(2) n ≤ 3 ならば R は self-dualiy をもつ．

参考文献

[1] Y. Baba. On self-duality of Auslander rings of local serial rings. Comm. Algebra, 30(6):2583–2592, 2002.

[2] Y. Baba and K. Iwase. On quasi-Harada rings. J. Algebra, 185(2):544–570, 1996.

[3] J. Kado and K. Oshiro. Self-duality and Harada rings. J. Algebra, 211(2):384–408, 1999.

[4] K. Koike. Examples of QF rings without Nakayama automorphism and H-rings without self-duality. J. Algebra, 241(2):731–744, 2001.

[5] K. Koike. Almost self-duality and Harada rings. J. Algebra, 254(2):336–361, 2002.

[6] J. Kraemer. Characterizations of the existence of (quasi-) self-duality for complete tensor rings. Verlag Reinhard Fischer, Munich, 1987.

[7] W. Xue. Rings with Morita duality. Springer-Verlag, Berlin, 1992.

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